通过逆向工程势将均匀玻色-爱因斯坦凝聚体作为 Gross-Pitaevskii 方程的 Kovaton 解

在这项工作中，我们采用“逆向工程”方法构造束缚势，其支持经典 Gross-Pitaevskii 方程（GPE，又称非线性薛定谔方程（NLSE））的精确常密度 kovaton 解。在一维情况下，精确解是静止 kink 与反 kink 解的叠加，即 kovaton，在重叠区域密度为常量。在更高维度中，精确解是该波函数的推广。在无自相互作用时，束缚势类似于平滑化的有限深方势阱，且在边缘处也有极小值。当加入自相互作用时，一项正比于 $\pm g \psi^{\ast}\psi$ 的项被加入束缚势，且 $\pm g M$（其中 $M$ 为范数）被加入总能量。在稳定性分析中，我们发现具有排斥自相互作用的情形存在（线性）稳定解，且对自相似形变也稳定。然而，对于吸引相互作用，随着我们增大范数，势边缘的极小值变深且中心形成势垒。这导致在临界值 $M$（与 BEC 中粒子数相关）处出现不稳定性。比较 Derrick 定理与 Bogoliubov-de Gennes 分析的稳定性结果，我们发现二者均预测排斥自相互作用时稳定，而吸引相互作用时在临界质量 $M$ 处不稳定。但数值分析给出的临界质量要低得多。数值分析进一步表明，初始不稳定性违背了 Derrick 定理所假设的对称性 $x\rightarrow-x$。