关于 $\mathbb{C}^n$ 原点处 $n$ 个全纯函数雅可比行列式的一点注记

设 $f_1,...,f_n$ 为 $\mathbb{C}^n$ 原点处的 $n$ 个全纯函数芽，满足 $f_i(0)=0$，$1\leq i\leq n$。我们基于 J. Lipman 通过 Hochschild 同调建立的留数理论给出了一个证明：$f_1,...,f_n$ 的雅可比行列式属于由 $f_1,...,f_n$ 生成的理想，当且仅当 $f_1,...,f_n$ 的公共零点芽的维数严格为正。事实上，我们证明了更一般的结果，即用适当的诺特环 $\mathbf{A}$ 替换域 $\mathbb{C}$ 后得到的该结果的相对版本（参见定理 3.1 和定理 3.3）。随后，我们展示了一个针对雅可比行列式的 \L ojasiewicz 不等式，该类比于 S. \L ojasiewicz 针对梯度的经典不等式。