雅可比平方函数芽

本文证明了:对任意等维 $C^\infty$ 映射芽 $f: (\mathbb{R}^n,0)\to (\mathbb{R}^n,0)$,由 $F(x)=\left(f(x), \mu_1(x){|Jf|^2(x)}, \cdots, \mu_\ell(x){|Jf|^2(x)}\right)$ 定义的映射芽 $F: (\mathbb{R}^n, 0) \to \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^{\ell}$ 总是一个前沿(frontal);其中 $\mu_i$ 是 $C^\infty$ 函数芽, $|Jf|$ 为 $f$ 的雅可比行列式。此外还证明了:当 $f$ 的重数小于或等于 $3$ 时,由 $f$ 构造的任意前沿必 $\mathcal{A}$-等价于上述形式的某个前沿 $F$。