关于使用 PINN 求解 Cauchy 问题难度的理解

Tao Wang; Bo Zhao; Sicun Gao; Rose Yu

关于使用 PINN 求解 Cauchy 问题难度的理解

机器学习 2024-06-19 v2 数值分析数值分析

作者: Tao Wang , Bo Zhao , Sicun Gao , Rose Yu

摘要

物理信息神经网络 (PINNs) 近年来在科学计算中获得了很高的热度。然而，它们往往无法达到经典方法在求解微分方程时所具有的相同精度。在本文中，我们确定了 Cauchy 问题中导致此问题的两个来源：将 $L^2$ 残差作为目标函数以及神经网络的近似差距。我们展示，最小化 $L^2$ 残差和初始条件误差之和并不足以保证真实解，因为该损失函数未捕捉到底层动态。此外，神经网络无法捕捉解中的奇点，因为其图像集的非紧致性。这反过来影响了全局最小值是否存在以及网络的规则性。我们还展示，当全局最小值不存在时，机器精度在实际操作中成为可实现误差的主要来源。我们还提供了支持我们理论主张的numerical实验。

关键词

物理信息神经网络 Cauchy 问题 $L^2$ 残差神经网络近似全局最小值奇点

引用

@article{arxiv.2405.02561,
  title  = {Understanding the Difficulty of Solving Cauchy Problems with PINNs},
  author = {Tao Wang and Bo Zhao and Sicun Gao and Rose Yu},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2405.02561},
  year   = {2024}
}

备注

13 pages and 18 figures

关于使用 PINN 求解 Cauchy 问题难度的理解

摘要

关键词

引用

备注

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