物理信息神经网络在求解微分方程中的应用与操作
机器学习
2025-07-29 v1
摘要
神经网络中的数学模型是求解复杂微分方程并优化其参数的强大工具；即分别求解正问题与逆问题。正问题通过优化权重与偏置来预测给定输入下网络的输出。逆问题则寻找能有效对数据进行建模的方程参数或系数。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）可以同时解决这两个问题。PINNs 将关于数据的先验解析信息注入代价函数中，以提升模型在训练集边界之外的性能。这也使得 PINNs 能够通过外推模型以拟合数据中的更大趋势，从而在稀疏数据下高效求解问题而不产生过拟合。我们实现的先验信息以微分方程形式呈现。残差是相应微分方程左右两边之差；PINNs 通过最小化这些残差来有效求解微分方程并利用先验知识。通过这种方式，解与参数被嵌入到损失函数中并进行优化，使得神经网络的权重与模型参数能够同时被找到，从而在此过程中同时求解正问题与逆问题。在本文中，我们将创建具有不同复杂度残差的 PINNs，从线性与二次模型开始，然后扩展以拟合热方程及其他复杂微分方程的模型。我们将主要使用 Python 作为计算语言，并利用 PyTorch 库来辅助我们的研究。
引用
@article{arxiv.2507.19522,
title = {Applications and Manipulations of Physics-Informed Neural Networks in Solving Differential Equations},
author = {Aarush Gupta and Kendric Hsu and Syna Mathod},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.19522},
year = {2025}
}