城市犯罪模型中的无界现象

我们证明空间模式（“热点”）可在犯罪模型中形成\begin{equation} \left\{\; \begin{aligned} u_{t} &= \tfrac{1}{\varepsilon}\Delta u - \tfrac{\chi}{\varepsilon} \nabla \cdot \left(\tfrac{u}{v} \nabla v \right) - \varepsilon uv, \\ v_{t} &= \Delta v - v + u v, \end{aligned} \right. \end{equation} 我们考虑该模型于$\Omega = B_R(0) \subset \mathbb R^n$，$R > 0$，$n \geq 3$，其中$\varepsilon > 0$，$\chi > 0$，且初值$u_0$、$v_0$具有足够大的初始质量$m := \int_\Omega u_0$。更确切地说，对每个$T > 0$及固定的$\Omega$、$\chi$与（大）$m$，我们构造初值$v_0$展现如下无界现象：给定任意$M>0$，可找到$\varepsilon > 0$使得关联极大解的第一分量在$\Omega$中某点于时间$T$之前变得大于$M$。由于$u$的$L^1$范数递减，这意味着必形成某种异质结构。为此，我们首先在假设无界现象于某区间$(0,T)$上明确不发生的条件下，通过取极限$\varepsilon \searrow 0$，由犯罪模型解构造非局部标量问题$$w_t = \Delta w + m \frac{w^{\chi+1}}{\int_\Omega w^\chi}$$的经典解。随后我们为该标量问题构造导致在$T$前爆破的初值。由于标量问题解唯一，这以反证法证明了我们的核心结果。