二维城市犯罪传播交叉扩散模型中非线性扩散增强的弛豫效应

我们考虑一类城市犯罪时空演化的宏观模型，其最初可追溯到 Short 等人（Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 18, 2008）。此处的焦点在于，犯罪主体的随机扩散中某种非线性增强能在多大程度上产生可见的弛豫效应。具体地，在系统 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} u_t = \nabla \cdot (u^{m-1} \nabla u) - \chi \nabla \cdot \Big(\frac{u}{v} \nabla v \Big) - uv + B_1(x,t), \[1mm] v_t = \Delta v +uv - v + B_2(x,t), \end{array} \right. \end{eqnarray*} 的背景下，我们证明只要 $\chi>0$ 且给定的非负源项 $B_1$ 和 $B_2$ 足够正则，假设 \begin{eqnarray*} m>\frac{3}{2} \end{eqnarray*} 足以保证在光滑有界平面凸域上提出的相应 Neumann 型初边值问题对一大类任意初数据存在局部有界解。此外，若 $B_1$ 和 $B_2$ 均有界且 $\liminf_{t\to\infty} \int_\Omega B_2(\cdot,t)$ 为正，则该解全局有界。数值证据补充了上述结论：除说明在具有此类多孔介质型扩散机制的尖锐结构初数据特定情形下的相关光滑化效应外，还表明在线性扩散情形 $m=1$ 下存在支持奇异结构的显著趋势。