(U)NFV：求解双曲型偏微分方程的有监督与无监督神经有限体积法
机器学习
2025-05-30 v1 数值分析
数值分析
摘要
我们提出了 (U)NFV，一种模块化的神经网络架构，用于推广经典的有限体积（FV）方法以求解双曲守恒律。双曲型偏微分方程（PDE）求解极具挑战性，尤其是那些物理相关解包含激波与间断的守恒律。FV 方法因其数学性质而被广泛使用：收敛于熵解、流量守恒或总变差递减，但在复杂环境中往往缺乏精度与灵活性。神经有限体积方法通过在扩展的空间与时间模板上学习更新规则，同时保持守恒结构，从而解决了这些局限性。它既支持在解数据上进行有监督训练（NFV），也支持通过弱形式残差损失进行无监督训练（UNFV）。应用于一阶守恒律时，(U)NFV 的误差比 Godunov 方法低达 10 倍，优于 ENO/WENO，且以远低得复杂度媲美间断 Galerkin 求解器。在源于 PDE 和实验性高速公路数据的交通建模问题上，(U)NFV 以显著高于传统 FV 方法的保真度与可扩展性捕捉了非线性波动力学。
引用
@article{arxiv.2505.23702,
title = {(U)NFV: Supervised and Unsupervised Neural Finite Volume Methods for Solving Hyperbolic PDEs},
author = {Nathan Lichtlé and Alexi Canesse and Zhe Fu and Hossein Nick Zinat Matin and Maria Laura Delle Monache and Alexandre M. Bayen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.23702},
year = {2025}
}