求解偏微分方程的深度有限体积法
数值分析
2024-07-15 v3 数值分析
摘要
本文中，我们引入深度有限体积法（DFVM），一种专为求解高阶（阶数 \(\geq 2\））偏微分方程（PDEs）定制的创新深度学习框架。我们的方法核心在于从原始 PDE 导出的局部守恒律构造的新颖损失函数，这使 DFVM 区别于传统深度学习方法。通过将 DFVM 表述为 PDE 的弱形式而非强形式，我们提升了精度，尤其对于解光滑性较差的 PDE 相比基于强形式的方法（如物理信息神经网络（PINNs））更为有利。DFVM 的一项关键技术在于将其神经网络的所有二阶或更高阶导数转化为可直接使用自动微分（AD）计算的一阶导数。这一适配显著降低了计算开销，对求解高维 PDE 尤为有利。数值实验表明，DFVM 相较于现有深度学习方法（如 PINN、深度里兹法（DRM）和弱对抗网络（WAN））取得了相当或更优的解精度，同时大幅降低计算成本。值得注意的是，对于非光滑解 PDE，DFVM 得到的近似解相对误差比 PINN 低达两个数量级。DFVM 的实现可在 GitHub 获取：\href{https://github.com/Sysuzqs/DFVM}{https://github.com/Sysuzqs/DFVM}。
引用
@article{arxiv.2305.06863,
title = {Deep Finite Volume Method for Partial Differential Equations},
author = {Jianhuan Cen and Qingsong Zou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.06863},
year = {2024}
}