(2+1) 维带钉扎固着于壁面的 Solid-on-Solid 表面在非定域相中的典型高度

我们研究 (2+1) 维带钉扎且与不可穿透壁面相互作用的 solid-on-solid 表面在非定域相中的典型高度。更精确地，令 $\Lambda_N$ 为 $\mathbb{Z}^2$ 中的 $N \times N$ 盒子，我们考虑一个非负整数值场 $(\phi(x))_{x \in \Lambda_N}$，具有零边界条件（即 $\phi|_{\Lambda_N^{\complement}}=0$），其关联的能量泛函为 $$\mathcal{V} (\phi)= \beta \sum_{x \sim y} \vert \phi(x)-\phi(y) \vert- \sum_{x} h \mathbf{1}_{\{ \phi(x)=0\}},$$ 其中 $\beta>0$ 为逆温度，$h\ge 0$ 为钉扎参数。Lacoin 已证明对足够大的 $\beta$，在临界点 $$h_w(\beta)= \log \left( \frac{e^{4 \beta}}{e^{4 \beta}-1}\right)$$ 处存在非定域与定域之间的相变。在本文中我们证明对 $\beta\ge 1$ 且 $h \in (0, h_w)$，$\phi$ 的值集中在高度 $H= \lfloor (4 \beta)^{-1} \log N \rfloor$ 处，且具有常数阶涨落。此外，在临界性 $h=h_w$ 处，我们为猜想的典型高度 $H_w= \lfloor (6 \beta)^{-1} \log N \rfloor$ 提供了证据。