无序与润湿相变：三维或更高维中的钉扎调和晶体

我们考虑 $d+1$ 维（$d=3$ 或更大）大盒子（线度大小为 $N$）上具有零边界条件的格点高斯自由场。该场受到两个势的作用：一个是模拟墙壁存在的势，当场进入下半空间时对其进行惩罚；另一个是“钉扎势”（pinning potential），当场访问墙壁附近时给予奖励。墙壁可以是软的，即场进入下半平面时受到有限惩罚；也可以是硬的，即惩罚为无穷大。一般而言，钉扎势是无序的，平均而言在 $\mathbb{R}$ 中给出奖励 $h$（负奖励即为惩罚）：当场在位置 $x$ 访问钉扎区域时，其能量贡献为 $\beta \omega_x+h$，其中 $\{\omega_x\}_{x \in \mathbb{Z}^d}$ 是均值为零、方差为单位且指数可积的独立同分布随机变量，$\beta\ge 0$。文献 [E. Bolthausen, J.-D. Deuschel and O. Zeitouni, J. Math. Phys. 41 (2000), 1211-1223] 证明了，当 $\beta=0$（即非无序模型）时，在 $h=0$ 处发生离域化-局域化相变，特别地，系统的自由能在 $h \le 0$ 时为零，在 $h>0$ 时为正。我们证明，对于 $\beta\neq 0$，相变发生在 $h=h_c(\beta):=- \log \mathbb{E} \exp(\beta \omega_x)$ 处，并求出了当 $h \searrow h_c(\beta)$ 时系统自由能密度的对数的精确渐近行为。特别地，我们证明了该相变是无穷阶的，即自由能在临界点附近小于 $h-h_c(\beta)$ 的任何幂次，且无序性完全不改变相变的性质。我们还给出了 $N \to \infty$ 极限下随机场路径行为的结果。