两类窄义 BCH 码及其对偶码

BCH 码及其对偶码是循环码的两个特殊子类，并且在许多情况下是最佳线性码。关于 BCH 循环码的研究已取得大量进展，但对其对偶码最小距离的了解甚少。最近，引入了一个称为对偶-BCH 码（dually-BCH code）的新概念，用于研究 BCH 码的对偶码及其最小距离的下界（\cite{GDL21}）。对于素数幂 $q$ 和整数 $m \ge 4$，令 $n=\frac{q^m-1}{q+1}$\ （$m$ 为偶数），或 $n=\frac{q^m-1}{q-1}$\ （$q>2$）。本文中，将根据设计距离给出一些充分必要条件，以确保长度为 $n$ 的窄义 BCH 码是对偶-BCH 码，这推广了 \cite{GDL21} 中的结果。对于 $n=\frac{q^m-1}{q+1}$\ （$m$ 为偶数），我们给出了其对偶码最小距离的下界。作为副产品，我们给出了模 $n$ 最大的陪集首 $\delta_1$ 的两种类型，证明了 \cite{WLP19} 中的一个猜想，并部分解决了 \cite{Li2017} 中的一个开放问题。我们还研究了长度为 $n$、设计距离为 $\delta_1$ 的窄义 BCH 码的参数。本文给出的 BCH 码总体上具有良好参数。