二链与Thompson群 $F$ 的平方根

我们研究双生成子群 $\langle f,g\rangle<\mathrm{Homeo}^+(I)$，使得 $\langle f^2,g^2\rangle$ 同构于Thompson群 $F$，且 $f$ 与 $g$ 的支撑构成两个区间的链。我们证明该类包含不可数多个同构类型。这些例子包括具有非交换自由子群的例子、不容许 $C^2$ 微分同胚在 $1$ 维流形上忠实作用的例子、不容许 $PL$ 同胚在区间上忠实作用的例子，以及非有限表示的例子。由此我们回答了M. Brin提出的问题。我们还表明，许多相对简单的同胚群可能具有非常复杂的平方根，从而确立了 $F$ 的平方根行为作为 $\mathrm{Homeo}^+(I)$ 子群中一种普遍现象的地位。