扭曲双层石墨烯 I. 矩阵元、近似、微扰论与 $k\cdot p$ 两能带模型

我们研究扭曲双层石墨烯（TBG）模型，以获得对其能态与波函数的解析理解，这是多体计算所必需的。我们提供了一种近似方案，它首先阐明了为何仅含 $4$ 个平面波、以 BM $K_M$ 点为中心的计算能给出第一魔角良好的解析值。该近似方案也阐明了为何投影到活跃能带的库仑哈密顿量中大多数多体矩阵元可被忽略。通过在第一魔角下将我们的近似方案应用于以 $\Gamma_M$ 点为中心的 6 平面波模型，我们在各向同性极限 $w_0=w_1$ 下解析理解了活跃能带与被动能带之间微小的 $\Gamma_M$ 点能隙。此外，我们在各向同性极限下解析计算了被动能带的群速度，并表明它们\emph{几乎}是二重简并的，尽管并无对称性强制其如此。此外，在远离 $\Gamma_M$ 与 $K_M$ 点处，我们提供了明确的解析微扰理解，说明为何 TBG 能带在第一魔角处是平的，尽管魔角仅由 $K_M$ 点狄拉克速度消失所定义。我们解析推导出一个连通的“魔流形” $w_1=2\sqrt{1+w_0^2}-\sqrt{2+3w_0^2}$，当 $w_0$ 在各向同性（$w_0=w_1$）与手性（$w_0=0$）极限之间调节时，能带在其上保持极平。我们解析展示了为何通过使 $w_0$ 小于（而非大于）$w_1$ 偏离各向同性极限，会增大活跃与被动能带间的 $\Gamma_M$ 点能隙。最后，通过微扰，我们提供了一个解析的 $\Gamma_M$ 点 $k\cdot p$ $2$ 能带模型，它在一定 $w_0,w_1$ 参数范围内重现 TBG 能带结构与本征态。该模型的进一步精炼提示了在全 $w_0, w_1$ 参数范围内一个可能的忠实 $2$ 能带 $\Gamma_M$ 点 $k\cdot p$ 模型。