豆花和超立方体的图灵密度

$r$ 豆花是由由 $(r-2)$ 集合与不相交 4 集合的每个 2 集合的并集构成的 $r$ 均匀超图。Bollobás、Leader 和 Malvenuto 以及 Bukh 都 conjectured，该 $r$ 豆花的图灵密度随着 $r \to \infty$ 趋于零。本文我们反驳了这个猜想。改编我们的构造，我们也能反驳关于超立方体图灵密度的传说猜想。对于固定 $d$ 和较大的 $n$，我们显示，$n$ 维超立方体 $Q_n$ 中最小的顶点集合（覆盖每个 $Q_d$ 的副本）的渐近密度严格小于 $1/(d+1)$，其中 $d \geq 8$。事实上，我们显示该渐近密度最多为 $c^d$，其中 $c<1$ 为某个常数。作为结果，我们获得了超立方体边缘图灵密度的类似界限。我们也回答了 Johnson 和 Talbot 的一些相关问题，并反驳了 Bukh 以及 Griggs 和 Lu 关于偏序集密度的猜想。