雏菊图Turán密度的下界

对于整数$r \geq 3$和$t \geq 2$，$r$一致$t$-雏菊（daisy）$\mathcal{D}^t_r$是形如$$\{S \cup T \ : T\subset U, \ |T|=t \}$$的$\binom{2t}{t}$个$r$元集合的族，其中某些集合$S,U$满足$|S|=r-t$、$|U|=2t$且$S \cap U = \emptyset$。Bollobás、Leader与Malvenuto（以及Bukh独立地）猜想$t$-雏菊的Turán密度满足对所有$t \geq 2$有$\lim\limits_{r \to \infty} \pi(\mathcal{D}_r^t) = 0$；这已成为一个著名问题，且对所有$t$值至今仍未解决。本文给出$r$一致$t$-雏菊Turán密度的下界。为此，我们引入（并取得若干进展）加性组合学中如下自然问题：对于整数$m \geq 2t \geq 4$，使得对任意$x \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$及$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$的任意$2t$元子集$X$，$X$中均存在$t$个互异元素其和不在平移$x+R$中的子集$R \subseteq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$的最大基数$g(m,t)$为何？这是Gunderson与Rödl考虑的极值Hilbert立方问题及其Cilleruelo与Tesoro所研究推广的切片类比。