无 $C_{2k+1}^{-}$ 带号图的图兰问题

本文研究 $C_{2k+1}^{-}$ 的图兰问题。设 $\dot{G}$ 是一个阶为 $n$、边数为 $e(\dot{G})$ 的非平衡带号图。令 $\lambda_{1} (\dot{G})$ 为 $\dot{G}$ 的最大特征值，$C_{2k+1}^{-}$ 为长度为 $2k+1$（$3 \le k \le \frac{n}{15}$）的负圈集合。我们证明：若 $\dot{G}$ 是一个无 $C_{2k+1}^{-}$ 的非平衡带号图，则 $e(\dot{G}) \le e(C_{3}^{-} \cdot K_{n-2})$ 且 $\lambda_{1}(\dot{G}) \le \lambda_{1}(C_{3}^{-} \cdot K_{n-2})$，等号成立当且仅当 $\dot{G}$ 与 $C_{3}^{-} \cdot K_{n-2}$ 切换等价。