指标极大值：禁用非平衡圈

本文旨在解决如下问题：在所有不含 $\mathcal{C}^-_r$ 的非平衡带符号图中，其指标的最大值是多少，其中 $\mathcal{C}^-_r$ 是长度为 $r$ 的非平衡圈的集合。令 $\Gamma_1 = C_3^- \bullet K_{n-2}$ 为通过将 $K_{n-2}$ 的一个顶点与 $C_3^-$ 的一个顶点等同而得到的带符号图，其中 $C_3^-$ 中与该顶点关联的两条边均为正边，且 $C_3^-$ 是含一条负边的非平衡三角形。本文证明：若 $\Gamma$ 是阶为 $n$ 的非平衡带符号图，$r$ 是 $\{4, \cdots, \lfloor \frac{n}{3}\rfloor + 1 \}$ 中的整数，且 $$\lambda_{1}(\Gamma) \geq \lambda_{1}(\Gamma_1),$$ 则 $\Gamma$ 含有长度为 $r$ 的非平衡圈，除非 $\Gamma \sim \Gamma_1$。\indent 结果表明该结果在谱极值图问题中具有重要意义，因为它们可视为带符号图背景下圈谱 Tur{\'a}n 问题 [Linear Algebra Appl. 428 (2008) 1492--1498] 的推广。此外，我们的结果部分解决了 Lin 与 Wang 近期提出的开放问题 [arXiv preprint arXiv:2309.04101 (2023)]。