幂等半环的 tropical 扩张与 Baker-Lorscheid 重数
环与代数
2023-04-04 v2 数论
摘要
在最近一篇论文中，Matthew Baker 与 Oliver Lorscheid 表明，笛卡尔符号法则与牛顿多边形法则均可解释为超域上多项式的重数。超域是域的推广，其编码了诸如符号或绝对值的算术。通过考察此类代数上多项式的重数，Baker 与 Lorscheid 表明可以恢复笛卡尔与牛顿的法则。在本文中，我们为幂等半环(idylls)定义 tropical 扩张。此类扩张曾出现于 Akian-Gaubert-Guterman 关于具有否定对称性的半环的工作，以及 Bowler-Su 关于超群与超域的工作。tropical 扩张的例子包括将 tropical 超域扩张到更高秩，或通过引入赋值将符号超域扩张到 tropical 实超域。本文结果涉及重数与 tropical 扩张的相互作用。首先，有一个从首形式到整个多项式的提升定理，由此我们将证明多项式的重数等于某首形式的相应重数。其次，我们证明 tropical 扩张保持所有重数之和以次数为界的性质。由此，我们对每个严格超域都有此次数界。这给出了 Baker 与 Lorscheid 提出的关于哪些超域具有此性质之问题的部分回答。
引用
@article{arxiv.2211.06480,
title = {Tropical Extensions and Baker-Lorscheid Multiplicities for Idylls},
author = {Trevor Gunn},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.06480},
year = {2023}
}
备注
38 pages, 6 figures, added some definitions to the introduction and made references to related works on semiring systems