$\mathbb{S}^7$ 上的平凡化与四元数次黎曼结构及次椭圆热核

在七维欧氏球面 $\mathbb{S}^7$ 上，我们就多种几何与分析性质比较两种次黎曼结构。第一种结构称为平凡化的，其底层分布 $\mathcal{H}_T$ 由 $\mathbb{R}^8$ 的 Clifford 模结构诱导。更确切地说，$\mathcal{H}_T$ 秩为 $4$、步长为二的括号生成，且由全局定义的向量场生成。第二种结构的分布 $\mathcal{H}_{Q}$ 秩为 4、步长亦为二，并作为四元数 Hopf 纤维化 $\mathbb{S}^3\hookrightarrow\mathbb{S}^7\rightarrow\mathbb{S}^4$ 中的水平分布得到。回答 arXiv:0901.1406 中的一个问题，我们首先证明 $\mathcal{H}_{Q}$ 不容许全局无处消失的光滑截面。在两种情形下，我们确定了 Popp 测度、内次序拉普拉斯算子 $\Delta_{sub}^T$ 与 $\Delta_{sub}^{Q}$ 以及幂零近似。我们得出结论：两种次黎曼结构并非局部等距，并讨论了等距群的性质。通过确定次拉普拉斯算子的首个热不变量，表明两种结构在次黎曼意义下亦非等谱。