$\boldsymbol{S}_p,~0<p<1,$ 上的三角投影及相关不等式

本文研究 $n\times n$ 矩阵空间上三角投影 ${\mathcal P}_n$ 的性质。投影 ${\mathcal P}_n$ 将 $n\times n$ 矩阵主对角线以下的元素置零，并保持其余元素不变。我们估计了 ${\mathcal P}_n$ 作为 Schatten--von Neumann 类 $\boldsymbol{S}_p$（$0<p<1$）上算子的 $p$-范数。本文的主要结果表明，对于 $p\in(0,1)$，当 $n\to\infty$ 时，${\mathcal P}_n$ 在 $\boldsymbol{S}_p$ 上的 $p$-范数行为如同 $n^{1/p-1}$。这解决了 B.S. Kashin 提出的一个问题。本文的其他结果中，我们提到了一个描述 $n\times n$ 矩阵的 $\boldsymbol{S}_p$-拟范数行为的结果，这些矩阵对角线以上的元素等于 1，而对角线以下的元素等于 0。