基于傅里叶分析的循环矩阵 p-范数

近期一篇论文计算了一类特殊循环矩阵 $A(n,a,b) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的诱导 $p$-范数，其对角元等于 $a \in \mathbb{R}$，非对角元等于 $b \ge 0$。我们利用傅里叶分析为其中的所有结果提供了更简短的证明。关键观察是循环矩阵可由 DFT 矩阵对角化。对于 $A = A(n,a,b), a \ge 0$，我们得到了 $\|A\|_p, 1 \le p \le \infty$ 的精确表达式；对于 $A = A(n,-a,b), a \ge 0$ 得到了 $\|A\|_2$ 的精确表达式；对于 $A(n,-a,b)$ 的其他 $p$-范数，$2 < p < \infty$，我们给出了上下界。