Schatten-$p$ 拟范数的一种新变分形式

Schatten-$p$ 拟范数（$p\in(0,1)$）近来在各种低秩矩阵估计问题中获得相当关注，相较核范数等相关凸启发式方法具有显著优势。然而，由于 Schatten-$p$ 拟范数的非凸性，最小化存在两个主要缺陷：1) 缺乏理论保证，2) 即使对于寻找驻点等平凡任务，最小化任务所需的计算代价也很高。为降低 Schatten-$p$ 拟范数最小化带来的高计算代价，已有定义于较小尺寸矩阵因子（其乘积等于原矩阵）上的变分形式被提出。此处，我们提出并分析了一种新颖的 Schatten-$p$ 拟范数变分形式，该形式在文献中首次定义于任意连续值 $p\in(0,1]$ 且沿因子化矩阵的列解耦。所提形式可视为著名核范数变分形式到非凸情形即 $p\in(0,1)$ 的自然推广。所得公式催生免 SVD 算法，从而提供比原 Schatten-$p$ 拟范数定义诱导的更低计算复杂度。我们提供了局部最优性分析，表明通过达到基于矩阵分解的替代问题的局部极小，可抵达原 Schatten-$p$ 拟范数问题的局部极小。此外，对于服从限制等距性质（RIP）的线性算子下的平方 Frobenius 损失，提出了秩一更新方案，为逃离较差局部极小提供途径。最后，我们的方法效率在矩阵补全问题上经经验展示。