通过洋葱层计数三角剖分及其他无交叉结构

设 $P$ 为平面上的 $n$ 个点集。$P$ 上的无交叉结构是以 $P$ 为顶点集的平面图。无交叉结构的例子包括 $P$ 的三角剖分、$P$ 的生成圈（也称为 $P$ 的多边形化）等。在本文中，我们开发了一种通用技术来计算输入点集 $P$ 的无交叉结构数量。我们将该技术应用于计算 $P$ 的三角剖分、匹配和生成圈的数量。我们算法的运行时间上界为 $n^{O(k)}$，其中 $k$ 是 $P$ 的洋葱层数。特别是，当 $k = O(1)$ 时，我们的算法在多项式时间内运行。此外，我们证明了即使当 $k = \Theta(n)$ 时，我们的三角剖分计数算法的速度也从不慢于 $O^{*}(3.1414^{n})$。鉴于存在几种被广泛研究的点配置，其三角剖分数量至少为 $\Omega(3.464^{n})$，甚至有些达到 $\Omega(8^{n})$，我们的算法在此类实例上渐近地优于任何枚举算法。事实上，人们普遍认为任何 $n$ 个点的集合必须至少有 $\Omega(3.464^{n})$ 个三角剖分。如果这是真的，那么我们的算法在所计数的三角剖分数量上是严格次线性的。我们还表明，我们的技术足够通用，可以解决“受限三角剖分计数问题”，我们证明该问题在参数 $k$ 下是 $W[2]$-难的。这意味着一个“没有免费午餐”的结果：为了成为固定参数易处理的，我们的通用算法必须依赖于所考虑结构类特有的额外性质。