从轮集上的无交叉图到少顶点包纳单形与多胞体

平面中一般位置的 $n+1$ 个点组成的集合 $P = H \cup \{w\}$ 被称为轮集，如果除 $w$ 外的所有点均为极点。我们证明，对于计数此类集合 $P$ 上的无交叉几何图而言，只需知道 $P$ 的频率向量即可。尽管对应轮集的不同次序类型约有 $2^n$ 种，频率向量的数量仅约 $2^{n/2}$。我们给出了用频率向量表示无交叉生成圈、匹配、三角剖分及更多图数量的简单公式。基于此，可高效计算相应的图数量。特别地，我们重新发现了关于 $H$ 张成的 $w$-包纳三角形的已有公式。在高维中，轮集也被证明是处理计算点 $w$ 在集合 $H$ 中单形深度（即 $w$-包纳单形数量）问题的合适模型。尽管我们之前的平面论证不易推广，我们展示了如何在任意固定 $d$ 的 $\mathbb{R}^d$ 中使用类似思想。结果是一个 $O(n^{d-1})$ 时间算法，用于计算 $n$ 个点的集合 $H$ 中点 $w$ 的单形深度，改进了先前最佳的 $O(n^d\log n)$ 界。基于我们的单形深度结果，我们可以在 $O(n^{\max\{\omega,k-2\}})$ 时间内计算 $\mathbb{R}^d$ 中 $n=d+k$ 个一般位置点的凸包面数，其中 $\omega \approx 2.373$，尽管面的渐近数量可能高达 $n^k$。