凸包问题的一个刻画定理与一个算法

给定 $S= \{v_1, \dots, v_n\} \subset \mathbb{R} ^m$ 和 $p \in \mathbb{R} ^m$，测试 $p \in conv(S)$（$S$ 的凸包）是否成立是计算几何与线性规划中的一个基本问题。首先，我们证明了一个不同于经典分离定理（如 Farkas 引理）的欧几里得{\it 距离对偶性}：$p$ 位于 $conv(S)$ 中当且仅当对于每个 $p' \in conv(S)$，存在一个{\it 支点}，即 $v_j \in S$ 满足 $d(p',v_j) \geq d(p,v_j)$。等价地，$p \not \in conv(S)$ 当且仅当存在一个{\it 证据}，即 $p' \in conv(S)$，其相对于 $p$ 的 Voronoi 胞腔包含 $S$。证据将 $p$ 与 $conv(S)$ 分离，并在两倍因子内近似 $d(p, conv(S))$。接下来，我们描述{\it 三角算法}：给定 $\epsilon \in (0,1)$，一个{\it 迭代点} $p' \in conv(S)$ 和 $v \in S$，若 $d(p, p') < \epsilon d(p,v)$，则算法停止。否则，若存在支点 $v_j$，则用 $v_j$ 替换 $v$，并用 $p$ 在直线 $p'v_j$ 上的投影替换 $p'$。重复此过程，算法在 $O(mn \min \{\epsilon^{-2}, c^{-1}\ln \epsilon^{-1} \})$ 次算术运算内终止，其中 $c$ 是{\it 可见性因子}，它是一个满足 $c \geq \epsilon^2$ 且对所有迭代点 $p'$ 满足 $\sin (\angle pp'v_j) \leq 1/\sqrt{1+c}$ 的常数。此外，(i) 我们证明了{\it 严格距离对偶性}及相关的极小极大定理，从而得到更有效的支点；(ii) 描述了运行时间为 $O(mn \ln \epsilon^{-1})$ 的算法，可计算证据或良好的近似解；(iii) 证明了{\it 广义距离对偶性}并描述了相应的广义三角算法；(iv) 证明了{\it 敏度定理}，以分析通过三角算法求解线性规划可行性的复杂度。三角算法具有实用性，可与单纯形法、稀疏贪婪近似和一阶方法相媲美。