凸包 membership 问题的半正定版本的三角形算法

给定$\mathbb{S}^n$（即$n\times n$实对称矩阵集合）的子集$\mathbf{S}=\{A_1,\dots,A_m\}$，我们将其{\it 谱包}(spectrahull)定义为集合$SH(\mathbf{S})=\{p(X)\equiv (Tr(A_1 X),\dots,Tr(A_m X))^T : X\in\mathbf{\Delta}_n\}$，其中${\bf \Delta}_n$为{\it 谱单纯形}(spectraplex)，即$\{ X\in\mathbb{S}^n : Tr(X)=1, X\succeq 0 \}$。我们令{\it 谱包成员判定}(SHM)为检验给定$b\in\mathbb{R}^m$是否属于$SH(\mathbf{S})$的问题。一方面，当$A_i$为对角矩阵时，SHM退化为{\it 凸包成员判定}(CHM)，这是LP中的基本问题。另一方面，有界SDP可行性可归约到SHM。基于为CHM及其推广而开发的{\it 三角形算法}(TA) \cite{kalchar,kalsep}，我们为SHM设计了一个TA：给定$\varepsilon$，在$O(1/\varepsilon^2)$次迭代内，它要么计算出一个将$b$与$SH(\mathbf{S})$分离的超平面，要么得到$X_\varepsilon\in\mathbf{\Delta}_n$使得$\Vert p(X_\varepsilon)-b\Vert\leq\varepsilon R$，其中$R$为$\mathbf{\Delta}_n$上的最大误差。在特定条件下迭代复杂度可改进至$O(1/\varepsilon)$甚至$O(\ln 1/\varepsilon)$。每次迭代的最坏情况复杂度为$O(mn^2)$，加上检验枢轴的存在性，后者被证明等价于估计一个对称矩阵的最小特征值。这一点结合半正定版本的Carathéodory定理，使得TA可像求解CHM一样实现，仅在需要时诉诸{\it 幂法}(power method)，从而改善迭代复杂度。所提出的SHM三角形算法简单、实用，适用于一般SDP可行性与优化，并可推广至用于两个谱包分离的支持向量机的谱类比。