凸包成员问题的第一类方法

凸包成员问题（CHMP）在于判定某点是否属于有限点集的凸包，这是一个在计算几何和线性规划基础中有重要应用的决策问题。在本研究中，我们回顾、比较并分析了用于 CHMP 的第一类方法，即 Frank-Wolfe 型方法、投影梯度法以及一种最近引入的称为三角形算法（TA）的几何算法。我们讨论了该算法与 Frank-Wolfe 的联系，表明 TA 可解释为不精确 Frank-Wolfe。尽管有此相似性，TA 强烈基于称为距离对偶的替代定理。利用该定理，我们提出了适用于 CHMP 的合适停止准则，可集成到 Frank-Wolfe 型和投影梯度法中，使这些方法专门化于成员决策问题。有趣的是，集成了此类停止准则的 Frank-Wolfe 与三角形算法的贪心版本重合，而后者又等价于 von Neumann 的一个算法。我们报告了在随机 CHMP 实例上的数值实验，精心设计了覆盖不同场景的实例，以表明根据凸包的几何形状和查询点的相对位置哪种算法更优。关于潜在应用，我们给出了两个说明性例子，一个与线性规划可行性问题相关，另一个与图像分类问题相关。