三角网格台球与平面二分图

给定三角网格中的一个多边形 $P$，我们通过一个自然的光束在 $P$ 内部反弹的台球系统得到一个置换 $\pi_P$。$\pi_P$ 中不同的循环对应于不同的光束轨迹。我们证明\n$$\text{area}(P)\geq 6\text{cyc}(P)-6\quad\text{and}\quad\text{perim}(P)\geq\frac{7}{2}\text{cyc}(P)-\frac{3}{2},$$\n其中 $\text{area}(P)$ 和 $\text{perim}(P)$ 分别是 $P$ 的（适当归一化的）面积与周长，$\text{cyc}(P)$ 是 $\pi_P$ 中循环的个数。关于 $\text{area}(P)$ 的不等式是紧的，并且我们刻画了满足 $\text{area}(P)=6\text{cyc}(P)-6$ 的多边形 $P$。这些结果可以用 Postnikov 的平面二分图(plabic graphs)的语言重新表述如下。设 $G$ 是一个本质维数为 $2$ 的连通约化平面二分图。假设 $G$ 有 $n$ 个标记边界点和 $v$ 个（内部）顶点，并令 $c$ 为 $G$ 的行程置换中循环的个数。则我们有\n$$v\geq 6c-6\quad\text{and}\quad n\geq\frac{7}{2}c-\frac{3}{2}.$$