对称多边形台球的混合性质

本工作包含对无理多边形台球动力学的数值研究。我们的工作强化了此类系统虽从未可证混沌却可能为强混合的假设，并讨论了旋转对称性在台球边界上的作用。我们引入仅具$C_n$旋转对称性的双参数多边形台球族。起初，我们对若干整数$n$计算在参数平面$\ell \times \theta$上通过相对测度$r(\ell, \theta; t)$实现的相空间填充。由所得相图可辨识出完全遍历系统。通过计算位置自相关函数$\Cor_x(t)$获得对称多边形台球可为强混合的数值证据，这些优值呈幂律型衰减$t^{- \sigma}$。$\sigma = 1$表明强混合性质。对较小的奇数$n$，得$\sigma \simeq 1$；而对较小的偶数$n$，则为$\sigma < 1$的弱混合情形。中间$n$值与奇偶性无关地呈现$\sigma \simeq 1$。对较高的对称性参数$n$，该双参数族趋于圆形台球（可积情形）。此范围内当$n$增大且$\sigma$减小时，遍历性更弱。