边缘 Up-Laplacian 谱间隙较大的三角形族

设 $\mathcal{T}$ 为一个有限非空的 $3$ 元素子集族，包含在全序集合 $V$ 中。我们将 $\mathcal{T}$ 视为支持图中三角形的集合。设 $\delta_{1,\mathcal{T}}$ 为带符号的边-三角形关联矩阵，$\lambda(\mathcal{T})$ 为 $\delta_{1,\mathcal{T}}^T\delta_{1,\mathcal{T}}$ 的谱间隙。我们的主要结果表明，较大的 $\lambda(\mathcal{T})$ 强迫支持图中强重叠和较大的最小度数。具体而言，支持图中的每条边至少位于 $\lceil \lambda(\mathcal{T})\rceil-2$ 个三角形中，从而图的最小度数至少为 $\lceil \lambda(\mathcal{T})\rceil-1$。我们进一步证明，$\binom{n}{3}$ 是达到等级 $n$ 的确切阈值：若 $|\mathcal{T}|< \binom{n}{3}$，则 $\lambda(\mathcal{T}) \leq n-1$，而若 $|\mathcal{T}|=\binom{n}{3}$ 且 $\lambda(\mathcal{T}) > n-1$，则 $\mathcal{T}$ 正好是 $n$ 顶点团中所有三角形的完整集合。此外，此团峰值在强区间尺度意义上是孤立的：设 $\phi(t)=\max_{|\mathcal{T}|=t} \lambda(\mathcal{T})$，在 $\binom{n}{3}$ 之后立即存在禁用区间，其上的 $\phi(t) \leq n-1$，而首次超过等级 $n-1$ 的通过被延迟 $\Theta(n^2)$ 个额外三角形。由于 $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3}=\Theta(n^2)$，这意味着在 $\binom{n}{3}$ 峰值之后，必须遍历完整间隙中一定比例的部分，才能在下一个团阈值之间出现实质性恢复。具体而言，$\phi$ 不是单调函数。然而，$\phi(t)=\Theta(t^{\frac{1}{3}})$。最后，若 $\Lambda(t):=\max_{1 \leq s \leq t}\phi(s)$，则 $\Lambda(t)=\max\{n \in \mathbb{N}:\binom{n}{3} \leq t\}$。因此，完全三角系统是唯一的最小谱极值器，但它们的峰值在连续图谱阈值之间是孤立的。