二维固定能量下的透明势。快衰减势的固定能量色散关系

对于二维 Schrödinger 方程 $$[- \Delta +v(x)]\psi=E\psi,\ x\in \R^2,\ E=E_{fixed}>0 \ \ \ \ \ (*)$$ 在固定正能量下,对具有快衰减无穷远势 $v(x)$ 的情形,给出了散射数据的色散关系。在“小范数”假设下,利用这些色散关系,我们给出(未给出充分性的完整证明)Schwartz 类 $S=C_{\infty}^{(\infty)} (\hbox{\bf R}^2)$ 中势的散射数据刻画。对于在固定能量 $\scriptstyle E_{fixed}$ 处散射振幅为零的势(透明势),我们给出此刻画的完整证明。作为推论,我们构造了一族(由一个变量函数参数化)在给定能量透明的二维球对称实 Schwartz 类 $S$ 势。对于二维情形(不假设势很小),我们证明不存在在无穷远非零实指数衰减、在固定能量透明的势。对任意大于等于 1 的维数,我们证明不存在在能量区间上前向散射振幅为零的非零实势。我们证明与散射问题 $(*)$(Novikov-Veselov 方程)相关的 2+1 维 KdV 型方程一般不保持这些色散关系(从第二个开始)。作为推论,这些方程一般不保持 Schwartz 类初值快于 $|x|^{-3}$ 的衰减率。