一类支撑于直线子集上的 $\delta$ 函数势的二维散射问题精确解

我们使用二维散射理论的转移矩阵表述来处理形如 $v(x,y)=\zeta\,\delta(ax+by)g(bx-ay)$ 的势的散射问题，其中 $\zeta,a$ 和 $b$ 是常数，$\delta(x)$ 是 Dirac $\delta$ 函数，$g$ 是实值或复值函数。我们将此问题映射为 $v(x,y)=\zeta\,\delta(x)g(y)$ 的情形，并针对以下几种 $g(y)$ 的选择给出了其精确的解析解：i) $\delta$ 函数的线性组合，此时 $v(x,y)$ 是二维 $\delta$ 函数的有限线性阵列；ii) 当 $\alpha_n$ 为实数时，$e^{i\alpha_n y}$ 的线性组合；iii) 具有复 Fourier 级数形式的一般周期函数。特别地，我们求解了由无限长二维 $\delta$ 函数线性周期阵列构成的势的散射问题。我们还证明了一个一般性定理，该定理给出了对于 $g(y)$ 的不同选择，在波长 $\lambda$ 的特定取值范围内产生相同散射幅值的充分条件。例如，我们证明了对于任意实参数和复参数 $a$ 和 $\mathfrak{z}$，势 $\mathfrak{z} \sum_{n=-\infty}^\infty\delta(x)\delta(y-an)$ 与 $a^{-1}\mathfrak{z}\delta(x)[1+2\cos(2\pi y/a)]$ 在 $a< \lambda\leq 2a$ 时具有相同的散射幅值。