准精确可解散射问题、玻恩近似的精确性以及二维宽带单向不可见性

在有限频带内实现精确单向不可见性多年来一直是一个悬而未决的难题。我们在二维中为该问题提供了一个简单的解决方案，其基础是我们对散射理论另一个更基本的开放问题的求解，即寻找二维中散射势 $v(x,y)$，使得其散射问题在能量不超过临界值 $E_c$ 时精确可解。这将准精确可解的概念推广到散射理论，并给出一个简单条件：当入射波的波数不大于 $\alpha:=\sqrt{E_c}$ 时，一阶玻恩近似给出散射振幅的精确表达式。由于该条件仅限制 $v(x,y)$ 的 $y$ 依赖性，我们可用它来确定具有某些期望散射特征的此类势的类别。这导出了一种部分逆散射方案，我们借此在二维中实现完美的宽带单向不可见性。我们通过确定一类二维各向同性活性介质讨论了后者的光学实现：该介质不散射波数在 $(\alpha/\sqrt 2,\alpha]$ 范围内、源位于 $x=\infty$ 的入射TE波，但若将源移至 $x=-\infty$ 则散射同样的波。