二维一类精确可解散射势、纠缠态对产生及掠射角共振效应

我们给出了形式为 $v(x,y)=\chi_a(x)[v_0(x)+ v_1(x)e^{i\alpha y}]$ 的势的散射问题的精确解，其中 $\chi_a(x):=1$ 当 $x\in[0,a]$，$\chi_a(x):=0$ 当 $x\notin[0,a]$，$v_j(x)$ 为实值或复值函数，$\chi_a(x)v_0(x)$ 是一维精确可解散射势，$\alpha$ 为正实参数。若 $\alpha$ 超过入射波的波数 $k$，则散射波不依赖于 $v_1(x)$ 的选择。特别地，若 $v_0(x)=0$ 且 $k<\alpha$，则 $v(x,y)$ 不可见。对于 $k>\alpha$ 且 $v_1(x)\neq 0$，散射波由有限个相干平面波对 $\psi_n^\pm$ 组成，其波矢为：$\mathbf{k}_n=(\pm\sqrt{k^2-(n\alpha)^2},n\alpha)$，其中 $n=0,1,2,\cdots<k/\alpha$。这推广到波包的散射，并提出了产生具有量子化动量分量及动量纠缠态对的量子态的方法。我们考察了用某些光学平板实现这些势。若对某个正整数 $N$ 有 $k=N\alpha$，则 $\psi_N^\pm$ 合并且振幅发散。若 $k$ 略大于 $N\alpha$，则 $\psi_N^\pm$ 的振幅远大于 $n<N$ 的 $\psi_n^\pm$。这标志着散射波的波矢与平板表面夹角很小时出现的一种共振效应。