平移不变态及其平均熵-I

令 $\IM =\otimes_{n \in \IZ}\!M^{(n)}(\IC)$ 为复数域 $\IC$ 上 $d$ 维矩阵 $\!M^{(n)}(\IC)=\!M_d(\IC)$ 的双侧无限张量积 $C^*$-代数，且 $\omega$ 为 $\IM$ 的一个平移不变态。本文证明了 $\omega$ 的平均熵 $s(\omega)$ 与 Connes-St{\o}rmer 动力学熵 $h_{CS}(\IM,\theta,\omega)$ 相等。此外，当态 $\omega$ 限制于 $\IM$ 的一个合适的平移不变极大阿贝尔 $C^*$ 子代数 $\ID_{\omega}$ 时，平均熵 $s(\omega)$ 等于 $\omega$ 的 Kolmogorov-Sinai 动力学熵 $h_{KS}(\ID_{\omega},\theta,\omega)$。进而，$\IM$ 的平移不变因子态是纯态当且仅当其平均熵为零。最后这一陈述可视为 Rokhlin-Sinai 正熵定理对于非纯因子态的非交换推广。