三自由度耗散系统中的转移判据与相空间结构

通过 index-1 鞍点从势阱逃逸的现象广泛存在于一些重要的物理系统中。了解控制逃逸事件的判据与相空间几何，在利用此类现象时起着重要作用，尤其是在存在实际摩擦或耗散力的情况下。我们旨在将鞍点附近的逃逸动力学研究从二自由度扩展至三自由度，给出一种方法论与相空间结构。同时考虑理想的保守系统与受扰动的耗散系统。我们定义五维转移区域 $\mathcal{T}_h$ 为给定初始能量 $h$ 下轨迹将从鞍点一侧逃逸至另一侧的所有初始条件集合。不变流形论证表明，在六维相空间中，转移区域的边界 $\partial \mathcal{T}_h$ 在保守系统中拓扑上是一个四维超圆柱，在耗散系统中是一个四维超球面。转移区域 $\mathcal{T}_h$ 可由三维构型空间中的实心三维椭球（实心三维圆柱）构造，其中每一点处存在一个速度锥——导致转移的速度方向由锥给出，速度大小由初始能量给出，方向由两个具有给定界限的球角给出。为说明我们的分析，我们考虑了一个具有两个由 index-1 鞍点连接的势极小值的示例系统。