平面区域上射丛曲率的迹公式

对于 $\mathbb{C}$ 中的区域 $\Omega$ 和算子 $T\in\mathcal{B}_n(\Omega)$，Cowen 和 Douglas 构造了对应于 $T$ 的 $\Omega$ 上的 Hermite 全纯向量丛 $E_T$。Hermite 全纯向量丛 $E_T$ 是通过非退化全纯映射 $z\mapsto {\rm{ker}}(T-z)$ ($z\in\Omega$) 将定义在 $\mathcal{G}r(n,\mathcal{H})$ 上的平凡丛 $S(n,\mathcal{H})$ 拉回得到的。为了寻找逆问题的答案，Cowen 和 Douglas 在其奠基性论文中研究了射丛。该文中关于射丛曲率的计算有些难以理解。他们给出了一组不变量来确定两个秩为 $n$ 的 Hermite 全纯向量丛是否等价。这些不变量复杂且不易计算。自然期望 Hermite 全纯射丛的等价性更容易刻画。事实上，对于 Hermite 全纯射丛 $\mathcal{J}_k(\mathcal{L}_f)$，我们证明了线丛 $\mathcal{L}_f$ 的曲率完全决定了 $\mathcal{J}_k(\mathcal{L}_f)$ 的类。对于秩为 $n$ 的 Hermite 全纯向量丛 $E_f$，我们计算了射丛 $\mathcal{J}_k(E_f)$ 的曲率，并推广了射丛 $\mathcal{J}_k(E_f)$ 的迹公式。