迈向一般型簇的镜像对称

本文旨在提出一般型簇 (varieties of general type) 的镜像对称理论。以 Landau-Ginzburg 镜像为动机，我们将一般型超曲面（更广泛地，非负 Kodaira 维数的簇）的镜像描述为特定 Landau-Ginzburg 势的零纤维的临界 locus。该临界 locus 承载着一个消失圈的 perverse sheaf。我们的主要结果表明，人们可以获得镜像对称中预期的 Hodge 数交换。这种交换发生在超曲面的 Hodge 数与利用 perverse sheaf 的上同调上的混合 Hodge 结构定义的某些 Hodge 数之间。通过分析此情形下同源镜像对称中相关范畴的 Hochschild 同调，可以预见这种交换；我们还猜想，Hochschild 上同调会产生一种类似但不同的维数交换，将超曲面上多向量场层的上同调与临界 locus 的上同调联系起来。