朝向Buchanan-Lillo猜想的解决

Buchanan与Lillo均猜想：具有正反馈的一阶时滞微分方程 $x^{\prime }(t)=p(t)x(\tau (t))$，$t\geq 0$，其中 $0\leq p(t)\leq 1$，$0\leq t-\tau (t)\leq 2.75+\ln2,t\in \mathbb{R},$ 的振荡解渐近于某个唯一周期解平移的倍数。该特殊解已知对所有非自治方程一致，且有趣地也可从更一般的混合反馈情形（变号 $p$）视角描述。负反馈 $p(t)\leq0$ 的对应猜想已由Lillo解决，混合反馈的对应猜想近期被列为开放问题。本文研究混合反馈情形下特殊周期解的收敛性质，刻画有界与无界振荡解之间的阈值，并立于 $p$ 与 $\tau$ 可测、$\tau (t)\leq t$ 且 $\lim_{t\rightarrow \infty }\tau (t)=\infty$ 的常设假设。我们证明该阈值上的非平凡振荡解渐近（相差 $o(1)$）于混合反馈的特殊周期解，其包含正反馈情形的周期解。这些结果所得结论阐明并精炼了Buchanan与Lillo的猜想：正反馈情形 $p(t)\geq0$ 下的振荡解与特殊周期解的倍数、平移之差为 $o(1)$。