迈向广义相对论的测地线流丛形式体系:黎曼情形

引力是一种由时空几何产生的现象。描述引力的主要方程为爱因斯坦方程。为理解这些场方程的结果,我们需要计算对应于这些场方程解的几何中的自由粒子世界线,例如Schwarzschild度规解爱因斯坦方程,我们需对该度规求解测地线方程。若我们以测地线而非度规来描述时空几何,便可跳过求解度规的步骤而直接求解测地线。本文发展了实现此目标的形式体系:我们利用从流形中所有点出发的以弧长为参数的测地线丛(测地线流丛GFB)来描述黎曼几何。我们的形式体系以无穷小球面三角形作为生成元以解决几何问题。我们将测地线流丛与高斯曲率相联系,并发展出一种从高斯曲率场出发几何地计算测地线的方法。该结果相当于将常曲率下的余弦与正弦定律推广至变曲率场。本文限于黎曼情形与正曲率场。我们将三角化问题展开为幂级数,并计算得二阶精度的主结果。该方法本身可推广至更一般情形,特别是与爱因斯坦方程直接相关的伪黎曼几何。我们将结果与球面比对,并对若干变曲率场例子进行一致性检验。作为副产物,我们将积分概念推广至乘积,并导出类比于微积分基本定理的关系,适用于乘积积分。