局部凸曲线的挠率

我们证明，对于欧几里得 3 维空间中的任意简单闭曲线 $\Gamma$，只要它相对于其凸包内部的一点 $o$ 是星形且局部凸的，其挠率至少变号 $4$ 次。后一条件意味着，过 $\Gamma$ 上的每一点 $p$ 都存在一个不包含 $o$ 的平面 $H$，使得 $\Gamma$ 上 $p$ 的邻域与 $o$ 位于 $H$ 的同一侧。这推广了 Sedykh 关于凸空间曲线的四顶点定理。遵循 Thorbergsson 和 Umehara 的方法，我们将证明归结为 Segre 关于球面曲线拐点的结果，该结果也被称为 Arnold 网球定理。