Sturm-Hurwitz-Kellogg 定理的逆定理及相关结果
微分几何
2007-11-01 v1 经典分析与常微分方程
摘要
经典的 Sturm-Hurwitz-Kellogg 定理断言，在圆上与 n 维 Chebyshev 系正交的函数至少具有 n+1 个符号变化。我们证明了其逆定理：给定圆上的一个 n 维 Chebyshev 系和一个至少具有 n+1 个符号变化的函数，存在一个保向的圆微分同胚，将该函数映射为与 Chebyshev 系正交的函数。我们还证明，如果实射影直线上的一个函数至少具有四个符号变化，则存在一个保向的射影直线微分同胚，将该函数映射为某个函数的 Schwarzian 导数。这些结果推广了 H. Gluck 和 B. Dahlberg 的逆四顶点定理：具有至少两个局部极大值和两个局部极小值的圆上函数是某条封闭平面曲线的曲率。
引用
@article{arxiv.0710.5902,
title = {Converse Sturm-Hurwitz-Kellogg theorem and related results},
author = {S. Tabachnikov},
journal= {arXiv preprint arXiv:0710.5902},
year = {2007}
}