超越Descartes圆定理

Descartes圆定理说，若四个圆相互外切且内部互不相交，则它们的曲率（或“弯曲”）$b_j = 1/r_j$满足关系$(b_1 + b_2 + b_3 + b_4)^2 = 2(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2)$。我们证明，在此类构型中，涉及以复数坐标化的圆心时也存在类似关系，从而得到复Descartes定理。这些关系在欧氏、球面与双曲几何中均有到$n$维情形的矩阵推广，并且它们包含了球面和双曲空间中的Descartes圆定理。