独立复形的拓扑与超图的圈结构

最近，Zhang 和 Wu 证明了 Kalai 和 Meshulam 的一个猜想，表明对于每个没有长度可被 $3$ 整除的诱导圈的无向图 $G$，其独立复形 $I(G)$ 的所有约化 Betti 数之和最多为 $1$。我们将此结果推广到超图情形。即，我们表明对于任何不包含长度可被 $3$ 整除的 Berge 圈的超图 $H$，相同的结论均成立。这建立了禁用圈结构与独立复形拓扑简单性之间更广泛的联系。作为关键工具，我们引入了 Barmak 针对图的星团定理的超图类比。这个新定理特别意味着，如果一个超图 $H$ 有一个非孤立且不包含在长度为 $3$ 的诱导 Berge 圈中的顶点 $v$，则存在一个顶点数少于 $H$ 的超图 $H'$，使得 $H$ 的独立复形与 $H'$ 的独立复形的纬垂同伦等价。