具有相同指数的鞍点轨道的 4 维流形拓扑

本文研究定义在闭合拓扑流形 $M^n$ 上的正则拓扑流 $f^t$。此类流的链递归集由有限个拓扑双曲固定点和周期轨道组成。像其光滑类比——Morse-Smale 流——一样，正则流具有连续的 Morse-Bott 函数，该函数在链递归集之外递减，并在流的链分量上保持常数。这一情况导致此类流与承载流形的拓扑之间存在密切联系。特别是，对于非奇异流（不含固定点的正则流），根据 Poincare-Hopf 公式，其环境流形具有零欧拉特征数。后者是 $n\neq3$ 时判定流形 $M^n$ 是否可承载非奇异流的标准。因此，在更高维数中，任何奇维流形都可承载非奇异流，甚至维数为偶数时，流形的列表也相当广泛；至少包括所有形式为 $M^{n-1}\times\mathbb S^1$ 的流形，其中 $M^{n-1}$ 为任意闭合 $(n-1)$ 维流形。本文的一个令人惊讶的结果是证明：在 4 维中，只有当流具有不同 Morse 指数的鞍点轨道时，才能实现上述各种承载空间。具体而言，对于维数为 4 的非奇异流 $f^t: M^4 \to M^4$，鞍点轨道的 Morse 指数仅可能取两个值，1 或 2。我们证明，只有在 $M^4\cong\mathbb S^3\tilde\times\,\mathbb S^1$ 或 $M^4\cong\mathbb S^3\times\mathbb S^1$ 的斜积或直积中，才存在具有相同 Morse 指数的鞍点轨道的非奇异 4 流。