具有吸引子-排斥子动力学的n维流形上的非奇异Morse-Smale流

本文给出了具有两个极限环的 $n$ 维流形上非奇异 Morse-Smale 流的详尽拓扑分类。周期轨道的双曲性意味着其中一个是吸引的，另一个是排斥的。由 Poincare-Hopf 定理，容许所考虑流的闭流形 $M^n$ 的欧拉示性数等于零。在 $n=2$ 的情形下，此类流的环境流形只能是环面与克莱因瓶。作者确定环面上此类流的拓扑等价类恰有两个，克莱因瓶上恰有三个。对于奇维流形没有由欧拉示性数为零推出的限制。然而已知，可定向 $3$ 维流形容许所考虑的流当且仅当它是透镜空间。本文证明了，在同胚意义下 $\mathbb S^3$ 与 $\mathbb RP^3$ 各容许一个此类流，其他透镜空间各容许两个此类流。同时表明，唯一容许所考虑流的非可定向 $n$ 维流形（对 $n>2$）是 $(n-1)$ 维球面上的扭I丛。并且此类流的拓扑等价类恰有两个。在可定向 $n$ 维流形中，只有 $(n-1)$ 维球面与圆的乘积可作为所考虑流的环境流形，且这些流分为两类拓扑等价类。