k点交叉算子转移集的拓扑表示

我们从不同角度研究了$k$点交叉算子及其重组集。我们证明对于所有$k>1$，$k$点交叉的转移函数生成与底层图的区间函数相同的凸性。这以否定的方式解决了 Mulder 关于连通图$G$的测地凸性是否由其区间函数$I$唯一确定的一个开放问题。Gitchoff 和 Wagner 的猜想——即对于每个不同于超立方体的转移集$R_k(x,y)$，存在唯一一对生成它的亲本——得到了肯定的解决。在此过程中，我们刻画了底层图为 Hamming 图的转移函数，以及底层图为偏立方体图的转移函数。对于一般的$k$值，我们证明了$k$点交叉算子的转移集是具有极大 Vapnik-Chervonenkis 维数的子集。此外，二进制串上$k$点交叉的转移集构成 VC 维为$k+1$的一致定向拟阵的顶(topes)。定向拟阵的拓扑表示定理因此意味着$k$点交叉算子可由伪球面排列表示。这为详细研究特例$k=2$提供了必要的工具。