排列中的子层次及完全图的球面弧横跨数

层次与子层次——以及从而是 $k$-集合与 ($\leq k$)-集合——是离散与计算几何中的基本概念，是凸多面体（对应 0 层）的自然推广。Eckhoff、Linhart 与 Welzl 提出的一个长期悬而未决的猜想，这一猜想将推广 McMullen 对多面体的上界定理，并提供对 Clarkson 现有渐近界的精确细化，断言对于所有 $k\leq \lfloor \frac{n-d-2}{2}\rfloor$，集合 $S$ 的 ($\leq k$)-集合的数目若 $S$ 为邻近多面体的顶点集则最大。作为研究此猜想及相关问题的新工具，我们引入 $g$ 矩阵，它同时概括了简单多面体的 $g$ 向量以及 Lee 与 Welzl 研究的 Gale 对偶版本 $g$ 向量。我们的主要结果是，任意 $\mathbf{R}^3$ 中的向量配置的 $g$ 矩阵为非负的，这意味着在 $d=n-4$ 情况下 Eckhoff-Linhart-Welzl 猜想成立。作为推论，我们获得以下关于横跨数的结果：考虑位于 $S^2 \subset \mathbf{R}^3$ 上的配置 $V$，由 $n$ 个单位向量组成，将它们两两之间用唯一的最短测地弧在单位球面 $S^2$ 上相连。这构成了 $K_n$ 在 $S^2$ 上的一种绘制，我们称之为球面弧绘制。补充前人针对矩形绘制的成果，我们显示，任何 $K_n$ 的球面弧绘制的横跨数至少为 $\frac{1}{4}\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-2}{2}\rfloor \lfloor \frac{n-3}{2}\rfloor$，这等于 $K_n$ 横跨数的猜想值。而且该下界在 $V$ 为共邻接（即每个开放线性半空间包含至少 $\lfloor (n-2)/2 \rfloor$ 个 $V$ 中的向量）时可达到。