闭弱 m-凸集的拓扑性质

本文研究 n 维实欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ ($n>1$) 中一般凸集的性质，这类集合被称为弱 $m$-凸集，$m=1,2,\ldots,n-1$。$\mathbb{R}^n$ 中的一个开集被称为弱 $m$-凸的，如果对于该集合的任意边界点，都存在一个通过该点且不与给定集合相交的 $m$ 维平面。$\mathbb{R}^n$ 中的一个闭集被称为弱 $m$-凸的，如果它能被一族开弱 $m$-凸集从外部逼近。一个集合在 $\mathbb{R}^n$ 中的补集的一个点被称为该集合的 $m$-非凸性点，如果任何通过该点的 $m$ 维平面都与该集合相交。证明了 $\mathbb{R}^n$ 中任何具有非空 $(n-1)$-非凸性点集的闭弱 $(n-1)$-凸集至少由三个连通分支组成。还证明了平面上具有有限个连通分支的闭弱 $1$-凸集的内部是弱 $1$-凸的。对于任意 $n\ge 3$ 和任意 $m=1,2,\ldots,n-2$，构造了 $\mathbb{R}^n$ 中具有非空 $m$-非凸性点集的弱 $m$-凸域和闭连通集。